上一篇博客中我们引入了一些重要的数集以及其相应的表示方式，同时证明了确界原理。而后用ϵ−N\epsilon-Nϵ−N语言刻画出了数列极限的概念，那么如果我们已知一个数列收敛，他又有哪些性质呢？这篇博客介绍了收敛数列的一些重要性质，而后根据这些性质给出了一些数列收敛的充要条件（即是否收敛的判定）
一、收敛数列的性质
1.极限的唯一性：
如果一个数列收敛，则他有且只有一个极限。
很明显如果一个数列收敛它一定是有一个极限的，不妨假设{ana_nan}的一个极限是aaa，这时候只要证明RRR上除了aaa的任意一点都不是数列的极限即可，事实上由数列极限的几何意义可知aaa的任意U(a,ϵ)U(a,\epsilon)U(a,ϵ)邻域之外仅有有限个点，则当ϵ\epsilonϵ充分小时可以保证RRR上的其他点的小邻域中仅有有限个点，这就证明了收敛数列an{a_n}an仅有aaa一个极限。
2.数列极限的保号性与有界性：
保号性：若limn→∞an=a>0lim_{n\to \infty}a_n=a>0limn→∞an=a>0，则对于任意的a’∈(0,a)a^’\in (0,a)a’∈(0,a)，一定能找到Nst.Nst.Nst.当n>Nn>Nn>N时有an>a’a_n>a^’an>a’
事实上，由数列极限的定义我们很容易可以看出n→∞n\to \inftyn→∞时，ana_nan可以无限的靠近aaa，只需要取ϵ
有界性：收敛数列一定有界
由保号性易证
3.保不等式性与迫敛性
保不等式性：若{ana_nan}与{bnb_nbn}都是收敛数列，且存在一个正整数Nst.n>NNst.n>NNst.n>N时有an≥bn,a_n\geq b_n,an≥bn,则一定有limn→∞an≥limn→∞bnlim_{n\to \infty}a_n\geq lim_{n\to \infty}b_nlimn→∞an≥limn→∞bn
可以通过反证法来证明，如果limn→∞an 请注意，这里即使将条件中的"≥\geq≥“改成”>>>"，结论中的"≥\geq≥"也不可以改变，例如数列{1n\frac{1}{n}n1}与{1n2\frac{1}{n^2}n21}即使满足1n>1n2\frac{1}{n} >\frac{1}{n^2}n1>n21，但他们的极限相等。 迫敛性：若{ana_nan}与{bnb_nbn}都收敛于aaa，而存在一个正整数Nst.n>NNst.n>NNst.n>N时有an≤cn≤bna_n\leq c_n\leq b_nan≤cn≤bn，则{cnc_ncn}有极限且极限等于aaa 利用保不等式性易证迫敛性。 迫敛性是数列收敛的一个很重要的判定条件 4.收敛数列的四则运算 若limn→∞an=a，limn→∞bn=blim_{n\to \infty}a_n=a，lim_{n\to \infty}b_n=blimn→∞an=a，limn→∞bn=b，则{an+bna_n+b_nan+bn}，{an−bna_n-b_nan−bn}，{anbna_nb_nanbn}均收敛，且有limn→∞an±bn=a±blim_{n\to \infty}a_n\pm b_n=a\pm blimn→∞an±bn=a±blimn→∞anbn=ablim_{n\to \infty}a_n b_n=ablimn→∞anbn=ab 证明从略。 二、数列的子列 在集合的概念中，我们提出了“子集”这一特殊概念，即如果集合AAA中的每一个元素都属于集合BBB，那么称集合AAA是BBB的子集，记作A⊂BA\subset BA⊂B，相应的我们对一个数列也可以提出类似的“子列”概念。要让数列{ana_nan}是{bnb_nbn}的子列，首先要满足{ana_nan}中的元素都属于{bnb_nbn}，但是，和集合不同数列中的元素排列是有序的，因此我们在构造子列的过程中希望不破坏原数列的顺序。子列的严格定义如下： 设{ana_nan}为数列，{nkn_knk}是正整数集N+N_+N+的无限子集，且n1 事实上数列的子列定义对于初学者来说是一个非常晦涩的定义，读者们只需要记住：数列的子列就是不改变原数列的元素顺序，将原数列的一部分元素丢掉留下的新数列即可。 容易证明：数列{ana_nan}收敛的充要条件是：{ana_nan}的任何子列都是收敛的。这个性质给出了数列收敛的一个判定。 事实上，在数列本身的性质非常难刻画时，可以考虑去寻找子列。 三、数列极限的判定 我们在研究一个数列极限问题之前，必须首先要考虑数列极限的存在性，即数列本身到底收不收敛，只有数列收敛的前提下我们对数列极限的性质讨论才是有意义的，之前我们已经介绍了数列收敛的定义判别法，但定义判别是建立在我们已经知道数列收敛到何处的前提下的，在实际应用中很难做到，下面我们介绍一些更为方便的数列极限判别方法。 1.单调有界定理 在实数域中，单调有界数列一定有极限。 不妨假设数列{ana_nan}单调递增且有上界，则由确界原理已知，{ana_nan}有上确界aaa，下面证明aaa就是数列{ana_nan}的极限： 对于任意的ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，都存在数列中的一项aNa_NaN，有a−ϵ 事实上，很多的数列极限都可以用单调有界定理来解决，由于数列收敛本身是对无限个元素刻画的，因此有限个元素不满足单调条件不会影响整个结论，即单调有界定理可以写为： 对于数列{ana_nan}，若存在一个正整数pst.pst.pst.{an+pa_{n+p}an+p}单调有界，则{ana _nan}一定有极限。 2.致密性定理 在介绍完单调有界定理之后，我们再来引入一个现阶段读者看来非常难以理解的定理：致密性定理 致密性定理：无穷有界数列一定存在收敛子列 定理的内容很容易理解，任意给出一个无穷有界数列都一定存在一个它的子列是收敛的，下面我们来详细的证明这个定理。 要证明无限数列{ana_nan}存在收敛子列，我们只要能够真正的找出一个收敛子列即可，那么如何去取出这个子列就成了我们要考虑的问题，我们考虑数列{an+pa_{n+p}an+p}（p∈Np\in Np∈N） Ⅰ. 若对∀p∈N\forall p\in N∀p∈N有{an+pa_{n+p}an+p}都有最大值，当p=0p=0p=0时，设{ana_nan}的最大值为an1a_{n_1}an1，由假设我们有对an1a_{n_1}an1后的元素组成的数列也是有最大值的，设{an+n1a_{n+n_1}an+n1}的最大值为an2a_{n_2}an2…按此取法取出无穷个项an1,an2,...,anka_{n_1},a_{n_2},...,a_{n_k}an1,an2,...,ank并且有an1≥an2≥...≥anka_{n_1}\geq a_{n_2}\geq...\geq a_{n_k}an1≥an2≥...≥ank，这样子我们就取出了{ana_nan}的一个单调子列，由单调有界定理，这个子列是收敛的； Ⅱ. 若存在一个p∈Nst.p\in Nst.p∈Nst.数列{an+pa_{n+p}an+p}没有最大值，那么对于∀q∈N\forall q\in N∀q∈N都有{an+p+qa_{n+p+q}an+p+q}都没有最大值（读者使用反证法很容易可以证明），则取n1=p+1n_1=p+1n1=p+1，则在an1a_{n_1}an1后面总存在一项an2>an1a_{n_2}>a_{n_1}an2>an1，同理这样可以取出一个无穷个项an1,an2,...,anka_{n_1},a_{n_2},...,a_{n_k}an1,an2,...,ank并且有an1 上述的证明说明对于任意一个有界数列（数列必居于Ⅰ Ⅱ其一）都能够取出一个收敛子列，即我们证明出了致密性定理的重要性。 致密性定理也是反映实数完备性的一个重要定理，事实上，在之后我们介绍聚点概念与魏尔斯特拉斯聚点定理时读者会对这个定理有更好的理解。 3.柯西（Cauchy）收敛准则 数列{ana_nan}收敛的充要条件是：对任意的ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数NNN，使得当n，m>Nn，m>Nn，m>N时有∣an−am∣<ϵ|a_n-a_m|<\epsilon∣an−am∣<ϵ 柯西收敛准则给出了一个判定数列是否收敛的完美解决方法，事实上，之后在我们去研究任何一个对象的收敛情况时，首先可以考虑的就是柯西收敛准则。下面我们给出柯西收敛准则的证明： 先证明必要性，假设数列{ana_nan}收敛于AAA，由数列{ana_nan}收敛可以得出，对于∀ϵ>0，∃N∈N+st.n>N\forall \epsilon>0，\exist N\in N_+st .n>N∀ϵ>0，∃N∈N+st.n>N时有∣an−A∣<ϵ|a_n-A|<\epsilon∣an−A∣<ϵ，由三角不等式易有∣an−am∣=∣an−A−am+A∣≤2ϵ|a_n-a_m|=|a_n-A-a_m +A|\leq2\epsilon∣an−am∣=∣an−A−am+A∣≤2ϵ,必要性既得证。 再证充分性，由ϵ\epsilonϵ的任意性易证数列有界，因此由致密性定理可知，{ana_nan}一定存在一个收敛子列{anka_{n_k}ank}，不妨假设limk→∞ank=Alim_{k\to\infty}a_{n_k}=Alimk→∞ank=A，由定理条件对于∀ϵ>0，∃N>0st.m，n>\forall \epsilon>0，\exist N>0st.m，n>∀ϵ>0，∃N>0st.m，n>时有∣an−am∣<ϵ2|a_n-a_m|<\frac{\epsilon}{2}∣an−am∣<2ϵ，由于此处mmm的任意性，可取m=nkm=n_km=nk，则对于ϵ\epsilonϵ，存在一个N2st.k>N2N_2st.k>N_2N2st.k>N2时有∣ank−A∣<ϵ2|a_{n_k}-A|<\frac{\epsilon}{2}∣ank−A∣<2ϵ，由三角不等式易有∣an−A∣=∣an−am+am−A∣≤∣∣an−am∣+∣am−A∣<ϵ|a_n-A|=|a_n-a_m+a_m-A|\leq||a_n-a_m|+|a_m-A|<\epsilon∣an−A∣=∣an−am+am−A∣≤∣∣an−am∣+∣am−A∣<ϵ充分性即得证。 柯西收敛准则的条件被我们称为柯西条件，他描述了收敛数列各项的值越到后面，彼此之间的距离越是靠近的性质。即只要数列的项数充分大，数列后边的任意两项的绝对值差就可以小于任意的正数（ϵ\epsilonϵ），柯西收敛准则真正脱离了收敛数列的收敛值来描述收敛数列的特质。